斐波那契数列，又称“兔子数列”.在现代物理、准晶体结构、化学、生物等领域，斐波那契数列都有直接的应用.斐波那契数列有许多奇特的性质，笔者介绍斐波那契数列的黄金分割性质与无限电阻网络的关系. 1 斐波那契数列与黄金分割率 如将斐波那契数列相邻两项前者除以后者，该比值的极限为≈0.618=Φ.因此斐波那契数列，又称黄金分割数列.斐波那契数列使人们对黄金分割的认识从静态走向动态. 斐波那契数列中每相邻两项的值也构成一个新的数列，笔者用表示,… 可以验证：数列中相邻两项分布于Φ的两侧，且奇数项大于Φ，偶数项小于Φ，但数列的极限为Φ. 由奇数项构成的数列为 它是一个单调递减数列，但各项均大于Φ，其极限为Φ，即数列从大于Φ的方向趋近于Φ. 而由偶数项构成的数列为,… 它是一个单调递增数列，各项均小于Φ，其极限也为Φ，即数列从小于Φ的方向趋近于Φ. 这样得到斐波那契数列的三个派生数列. 2 斐波那契数列与无穷电阻网 问题1 如图1，阻值均为1Ω的电阻组成的无穷网络，则AB端的电阻RAB=________Ω. 这个电路叫Γn型电阻网络，问题可以用以下的数学模型求解. 容易计算当n=1,2,3,…的电阻，如图2所示. 图1 图2 计算得对比斐波那契数列，发现.这里用数学归纳法证明. 图3 当k=1时，显然成立.假设当k=n-1时，，那么，当k=n时，由斐波那契数列的递推关系Fn=Fn-1+Fn-2，如图3得 . 由上式判断，Γn(n=1,2,3,…)网络的等效电阻Rn构成的数列就是斐波那契数列的派生数列.所以，无限网络的等效电阻Ω. 问题2 将n个阻值均为1Ω的电阻按照图4所示逐个连接，求所构成电路的等效电阻RAB的值. 图4 解：将这些电阻标记为r1,r2,…,rn，用Rn表示前n个电阻构成电路的等效电阻值，对n=1,2,3,…根据电路的连接计算得到 显然Rn构成的数列的奇数项构成了斐波那契数列的派生数列，偶数项构成了斐波那契数列的派生数列. 这个数列的奇数项R2n-1的分母记为a2n-1，偶数项R2n的分子记为a2n，所得一个新数列：1，1，2，3，5…恰为斐波那契数列. 由此，Ω. 对于很大的n，若n为奇数，电路AB的等效电阻约为1.618…，若n为偶数，则等效电阻约为0.618…这正是黄金比例分割数. 笔者应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分析和计算，突出了动态的渐进过程，实现了从电路角度验证斐波那契数列的相关特性，即斐波那契数列与黄金分割的关系.一个问题涉及了物理和数学两个学科，使无穷网络的电阻与数列、极限联系起来，加深了对该知识的认识. 斐波那契数列，又称“兔子数列”.在现代物理、准晶体结构、化学、生物等领域，斐波那契数列都有直接的应用.斐波那契数列有许多奇特的性质，笔者介绍斐波那契数列的黄金分割性质与无限电阻网络的关系. 1 斐波那契数列与黄金分割率 如将斐波那契数列相邻两项前者除以后者，该比值的极限为≈0.618=Φ.因此斐波那契数列，又称黄金分割数列.斐波那契数列使人们对黄金分割的认识从静态走向动态. 斐波那契数列中每相邻两项的值也构成一个新的数列，笔者用表示,… 可以验证：数列中相邻两项分布于Φ的两侧，且奇数项大于Φ，偶数项小于Φ，但数列的极限为Φ. 由奇数项构成的数列为 它是一个单调递减数列，但各项均大于Φ，其极限为Φ，即数列从大于Φ的方向趋近于Φ. 而由偶数项构成的数列为,… 它是一个单调递增数列，各项均小于Φ，其极限也为Φ，即数列从小于Φ的方向趋近于Φ. 这样得到斐波那契数列的三个派生数列. 2 斐波那契数列与无穷电阻网 问题1 如图1，阻值均为1Ω的电阻组成的无穷网络，则AB端的电阻RAB=________Ω. 这个电路叫Γn型电阻网络，问题可以用以下的数学模型求解. 容易计算当n=1,2,3,…的电阻，如图2所示. 图1 图2 计算得对比斐波那契数列，发现.这里用数学归纳法证明. 图3 当k=1时，显然成立.假设当k=n-1时，，那么，当k=n时，由斐波那契数列的递推关系Fn=Fn-1+Fn-2，如图3得 . 由上式判断，Γn(n=1,2,3,…)网络的等效电阻Rn构成的数列就是斐波那契数列的派生数列.所以，无限网络的等效电阻Ω. 问题2 将n个阻值均为1Ω的电阻按照图4所示逐个连接，求所构成电路的等效电阻RAB的值. 图4 解：将这些电阻标记为r1,r2,…,rn，用Rn表示前n个电阻构成电路的等效电阻值，对n=1,2,3,…根据电路的连接计算得到 显然Rn构成的数列的奇数项构成了斐波那契数列的派生数列，偶数项构成了斐波那契数列的派生数列. 这个数列的奇数项R2n-1的分母记为a2n-1，偶数项R2n的分子记为a2n，所得一个新数列：1，1，2，3，5…恰为斐波那契数列. 由此，Ω. 对于很大的n，若n为奇数，电路AB的等效电阻约为1.618…，若n为偶数，则等效电阻约为0.618…这正是黄金比例分割数. 笔者应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分析和计算，突出了动态的渐进过程，实现了从电路角度验证斐波那契数列的相关特性，即斐波那契数列与黄金分割的关系.一个问题涉及了物理和数学两个学科，使无穷网络的电阻与数列、极限联系起来，加深了对该知识的认识.
文章来源：现代物理知识 网址: http://xdwlzs.400nongye.com/lunwen/itemid-12145.shtml
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